在几何学中，扇形是一个圆的一部分，由两条半径和这两条半径之间的圆弧组成。已知一个扇形的弧长为 \( 20\pi \)，面积为 \( 240\pi \)，我们需要求出这个扇形的半径。
首先回顾一下扇形的基本公式：
1. 弧长公式：\( L = r\theta \)
其中 \( L \) 表示弧长，\( r \) 是半径，\( \theta \) 是圆心角（以弧度为单位）。
2. 面积公式：\( A = \frac{1}{2}r^2\theta \)
其中 \( A \) 表示扇形的面积。
根据题目条件：
- 弧长 \( L = 20\pi \)
- 面积 \( A = 240\pi \)
将弧长公式代入面积公式中，可以消去 \( \theta \)：
\[ A = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{L}{r} = \frac{1}{2}rL \]
代入已知值：
\[ 240\pi = \frac{1}{2}r \cdot 20\pi \]
化简方程：
\[ 240\pi = 10\pi r \]
两边同时除以 \( 10\pi \)：
\[ r = 24 \]
因此，该扇形的半径为 \( 24 \)。
总结：通过弧长和面积的关系，我们成功计算出了扇形的半径。这种方法不仅适用于理论推导，也能够帮助我们在实际问题中快速找到答案。
