在高等数学的学习过程中，求导是微积分中的一个核心内容。无论是函数的单调性分析、极值求解，还是曲线的切线与法线问题，都离不开导数的计算。为了方便学习和复习，下面整理了一份较为全面的求导公式大全，涵盖了基本初等函数、复合函数、隐函数以及高阶导数的常见求导方法。
一、基本初等函数的导数公式
1. 常数函数
$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $，其中 $ C $ 为常数。
2. 幂函数
$ \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} $，其中 $ n $ 为任意实数。
3. 指数函数
- $ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $
- $ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $
4. 对数函数
- $ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $
- $ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数
- $ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $
- $ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x $
- $ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x $
- $ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x $
6. 反三角函数
- $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $
- $ \frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1 + x^2} $
二、导数的运算法则
1. 加减法则
$ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $
2. 乘积法则
$ \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $
3. 商数法则
$ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $，其中 $ g(x) \neq 0 $
4. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则
$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $
三、高阶导数
高阶导数指的是对函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} $
- 三阶导数：$ f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3} $
- 以此类推。
对于一些特殊函数，如多项式、指数函数、三角函数等，其高阶导数可以通过规律进行快速计算。
四、隐函数求导
当函数以隐式形式给出时，比如 $ F(x, y) = 0 $，需要使用隐函数求导法，即对两边同时对 $ x $ 求导，再解出 $ \frac{dy}{dx} $。
例如：
若 $ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 $ x $ 求导得：
$ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 $
解得：
$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $
五、参数方程求导
若函数由参数方程表示：
$ x = x(t) $，$ y = y(t) $，
则导数为：
$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $，其中 $ \frac{dx}{dt} \neq 0 $
六、导数的应用
导数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，主要包括：
- 求函数的极值点
- 分析函数的单调性
- 确定曲线的凹凸性和拐点
- 求曲线的切线方程
- 解决最优化问题
结语
掌握好求导公式和相关法则，是学好高等数学的关键一步。通过不断练习和应用，可以提高解题速度和准确性。希望本篇整理的“求导公式大全（高等数学）”能够帮助大家更好地理解和运用导数知识，在学习中取得更好的成绩。
---
注：本文为原创内容，旨在提供清晰、系统的导数知识总结，适合学生、教师及自学者参考使用。
