【等差数列的性质】等差数列是数学中一种常见的数列形式，其特点是相邻两项之间的差值恒定。掌握等差数列的性质，有助于我们在解题过程中更快地找到规律、简化计算。以下是对等差数列主要性质的总结与归纳。
一、基本定义
若一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数称为公差，记作 d。
设首项为 a₁，公差为 d，则第 n 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
二、等差数列的主要性质
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 |
| 1 | 通项公式 | 第 n 项为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 2 | 公差定义 | 每一项与前一项的差为定值，即 $ a_{n} - a_{n-1} = d $ |
| 3 | 等差中项 | 若三个数成等差数列，则中间的数为等差中项，即 $ b = \frac{a + c}{2} $ |
| 4 | 前 n 项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 5 | 对称性 | 在等差数列中，与首末两端等距离的两项之和相等 |
| 6 | 任意两项之差 | 任意两项 $ a_m $ 和 $ a_n $ 的差为 $ (m - n)d $ |
| 7 | 连续项关系 | 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $ |
| 8 | 单调性 | 当 $ d > 0 $ 时，数列为递增；当 $ d < 0 $ 时，数列为递减；$ d = 0 $ 时，为常数列 |
三、应用举例
1. 求第 10 项
已知首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，则
$$
a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 18 = 21
$$
2. 求前 5 项和
使用公式 $ S_5 = \frac{5}{2}(2 \times 3 + 4 \times 2) = \frac{5}{2}(6 + 8) = \frac{5}{2} \times 14 = 35 $
3. 判断是否为等差数列
数列：3, 7, 11, 15, 19
检查公差：7 - 3 = 4，11 - 7 = 4，15 - 11 = 4，19 - 15 = 4 → 是等差数列
四、总结
等差数列是一种结构清晰、规律性强的数列类型。通过理解其基本性质，我们可以在实际问题中快速识别、计算和推理。掌握这些性质不仅能提高解题效率，还能加深对数列整体结构的理解。
如需进一步探讨等比数列或其他数列类型，可继续关注相关内容。
