【阶乘的公式是什么】阶乘是数学中一个非常基础且常见的概念，广泛应用于排列组合、概率论和数论等领域。它表示一个正整数n的所有小于等于n的正整数的乘积。阶乘在计算排列数、组合数时起着关键作用。
一、阶乘的基本定义
阶乘（Factorial）用符号“!”表示，定义如下：
$$
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1
$$
其中，n 是一个非负整数。特别地，0! 的值被定义为 1，这是一个约定，便于公式的一致性。
二、阶乘的常见数值表
以下是一些小范围内的阶乘值，方便快速查阅：
| 数字 n | 阶乘 n! |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
三、阶乘的性质与应用
1. 递推关系：
阶乘满足递推公式：
$$
n! = n \times (n-1)!
$$
2. 零的阶乘：
如前所述，0! = 1，这是为了保持某些组合公式的正确性。
3. 应用场景：
- 排列组合：如从n个元素中选出k个进行排列，公式为 $ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $。
- 组合数：如从n个元素中选出k个不考虑顺序的组合数，公式为 $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $。
- 概率论中的事件计数问题。
四、阶乘的扩展
虽然阶乘通常只对非负整数定义，但可以通过伽玛函数（Gamma function）进行扩展，使得阶乘可以应用于实数甚至复数。伽玛函数满足：
$$
\Gamma(n+1) = n!
$$
这在高等数学中具有重要意义。
五、总结
阶乘是一个简单却强大的数学工具，它的定义清晰，应用广泛。理解阶乘的概念和计算方式，有助于更好地掌握排列组合、概率等数学知识。通过表格形式展示阶乘值，能够帮助初学者更快地熟悉这一概念。
