【什么是二项分布】二项分布是概率论与统计学中一种重要的离散概率分布，常用于描述在固定次数的独立试验中，成功次数的概率分布。它适用于每次试验只有两种可能结果（成功或失败）的情况，并且每次试验的成功概率相同。
一、二项分布的基本概念
二项分布由以下三个要素决定：
1. 试验次数 n：即进行试验的总次数。
2. 每次试验的成功概率 p：即每次试验中“成功”的概率。
3. 随机变量 X：表示在 n 次独立试验中成功的次数。
如果满足上述条件，则 X 服从参数为 (n, p) 的二项分布，记作 X ~ B(n, p)。
二、二项分布的公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从 n 次试验中选出 k 次成功的组合方式；
- $ p^k $ 表示 k 次成功的概率；
- $ (1 - p)^{n - k} $ 表示其余 n - k 次失败的概率。
三、二项分布的特点
| 特点 | 描述 |
| 独立性 | 每次试验之间互不影响 |
| 固定次数 | 试验次数 n 是固定的 |
| 两种结果 | 每次试验只有两个可能的结果（成功/失败） |
| 成功概率恒定 | 每次试验的成功概率 p 相同 |
| 离散型 | 随机变量 X 只能取整数值 |
四、二项分布的应用场景
| 场景 | 示例 |
| 投掷硬币 | 投掷 10 次硬币，正面出现的次数 |
| 质量检测 | 检查 50 件产品，有缺陷的数量 |
| 医疗实验 | 某种药物治疗 100 名患者，有效的人数 |
| 问卷调查 | 在 200 人中，支持某政策的人数 |
五、二项分布的期望与方差
| 统计量 | 公式 | 含义 |
| 期望值 E(X) | np | 平均成功次数 |
| 方差 Var(X) | np(1 - p) | 成功次数的波动程度 |
六、总结
二项分布是一种描述在 n 次独立试验中成功次数的概率分布模型。它广泛应用于各种实际问题中，如医学、工程、金融等领域。掌握二项分布的基本概念和计算方法，有助于更好地理解和分析现实世界中的随机现象。
| 关键词 | 内容 |
| 定义 | 描述 n 次独立试验中成功次数的概率分布 |
| 条件 | 试验独立、结果二元、概率恒定 |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 应用 | 投掷、检测、调查、实验等 |
| 特点 | 独立、固定、二元、恒定概率 |
通过以上内容，我们可以对二项分布有一个全面而清晰的理解。
