在数学中，求两个函数的交点是分析它们图像关系的重要方法之一。本文将详细介绍如何求解函数 y₁ = sin(2x) + 3 与 y₂ = sin(x) + 3 的交点。
一、理解问题
我们有两个三角函数：
- y₁ = sin(2x) + 3
- y₂ = sin(x) + 3
要找到它们的交点，即找出满足以下等式的 x 值：
$$
\sin(2x) + 3 = \sin(x) + 3
$$
由于两边都有 +3，可以先将等式简化：
$$
\sin(2x) = \sin(x)
$$
二、解方程：sin(2x) = sin(x)
我们知道，正弦函数有周期性，且满足以下性质：
- $\sin(\theta) = \sin(\alpha)$ 的解为：
$$
\theta = \alpha + 2k\pi \quad \text{或} \quad \theta = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
因此，令 $\theta = 2x$，$\alpha = x$，则有：
情况一：
$$
2x = x + 2k\pi \Rightarrow x = 2k\pi
$$
情况二：
$$
2x = \pi - x + 2k\pi \Rightarrow 3x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}
$$
三、得到所有解
综上所述，方程 $\sin(2x) = \sin(x)$ 的通解为：
$$
x = 2k\pi \quad \text{或} \quad x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
四、求出对应的交点坐标
因为原函数为：
- $y_1 = \sin(2x) + 3$
- $y_2 = \sin(x) + 3$
所以，当 $x$ 满足上述条件时，两函数值相等，即交点的纵坐标为：
$$
y = \sin(x) + 3
$$
我们可以代入上面的解来计算具体的交点坐标。
例如：
- 当 $x = 0$，则 $y = \sin(0) + 3 = 3$，交点为 $(0, 3)$
- 当 $x = \frac{\pi}{3}$，则 $y = \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 3$，交点为 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} + 3)$
- 当 $x = \frac{2\pi}{3}$，则 $y = \sin(\frac{2\pi}{3}) + 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 3$，交点为 $(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} + 3)$
五、总结
通过解方程 $\sin(2x) = \sin(x)$，我们得到了两个函数的所有交点的横坐标，并进一步求出了对应的纵坐标。这些交点位于函数图像的重合部分，反映了两个周期性函数之间的对称性和重复性。
六、注意事项
- 正弦函数是周期性的，因此交点也是无限多的。
- 在实际应用中，可能需要根据具体区间（如 $x \in [0, 2\pi]$）来限制解的范围。
- 若需绘制图像，可以通过描点法或使用绘图软件辅助分析交点位置。
如果你对其他类型的函数交点问题感兴趣，也可以继续探讨！
