【根与系数的关系公式8个】在初中和高中数学中，二次方程的根与系数之间的关系是一个重要的知识点。通过这些关系，我们可以在不求根的情况下，快速判断方程的根的性质，如根的和、积、平方和、立方和等。以下是关于“根与系数的关系公式”的总结。
一、基本概念
对于一般的二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
设其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则根据韦达定理（Vieta's formulas），有以下关系：
- 根的和：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
- 根的积：$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$
这是最基础的两个关系式，其他公式都可以由这两个推导而来。
二、根与系数的8个重要关系公式
| 公式编号 | 公式名称 | 公式表达式 | ||||
| 1 | 根的和 | $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ | ||||
| 2 | 根的积 | $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ | ||||
| 3 | 根的平方和 | $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 2\dfrac{c}{a}$ | ||||
| 4 | 根的立方和 | $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$ | ||||
| 5 | 根的倒数和 | $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{-\dfrac{b}{a}}{\dfrac{c}{a}} = -\dfrac{b}{c}$ | ||||
| 6 | 根的差的平方 | $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 4\dfrac{c}{a}$ | ||||
| 7 | 根的绝对值之和 | $ | x_1 | + | x_2 | $（需结合具体根的情况讨论） |
| 8 | 根的对称函数 | 如 $x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$ |
三、应用举例
例如，已知方程 $2x^2 - 5x + 3 = 0$，我们可以直接利用上述公式计算：
- $x_1 + x_2 = \dfrac{5}{2}$
- $x_1x_2 = \dfrac{3}{2}$
- $x_1^2 + x_2^2 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{25}{4} - 3 = \dfrac{13}{4}$
四、总结
根与系数的关系公式是解决二次方程问题的重要工具，尤其在考试中常用于快速判断根的性质或构造方程。掌握这8个公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对二次方程本质的理解。建议在学习过程中多做练习，灵活运用这些公式。
