【n阶行列式按行展开的定义】在线性代数中，行列式的计算是矩阵分析的重要基础之一。对于一个n阶行列式，其按行展开是一种常用且重要的计算方法。通过按行展开，可以将高阶行列式逐步转化为低阶行列式的计算，从而简化运算过程。
一、定义概述
n阶行列式按行展开是指：对于一个n×n的矩阵A，选择其中某一特定的行（比如第i行），然后对该行中的每一个元素a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}，分别乘以对应的代数余子式C_{i1}, C_{i2}, ..., C_{in}，并将这些乘积相加，得到该行列式的值。
数学表达为：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
其中，C_{ij} 是元素a_{ij} 的代数余子式，定义为：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
而M_{ij} 是去掉第i行和第j列后所剩下的(n-1)阶行列式，称为余子式。
二、关键概念说明
| 概念 | 定义 |
| 行列式 | n×n矩阵的一个数值特征，用于判断矩阵是否可逆等。 |
| 元素 | 矩阵中的每个数字，记作a_{ij}，表示第i行第j列的元素。 |
| 余子式 | 去掉第i行和第j列后的(n-1)阶行列式，记作M_{ij}。 |
| 代数余子式 | 余子式乘以(-1)^{i+j}，记作C_{ij}。 |
| 按行展开 | 选择某一行，将该行的元素与其代数余子式相乘并求和，得到行列式的值。 |
三、按行展开的步骤总结
1. 选择一行：通常选择含有较多0的行，以减少计算量。
2. 提取该行的元素：依次取出该行的所有元素a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}。
3. 计算每个元素的代数余子式：对每个a_{ij}，计算对应的C_{ij}。
4. 进行乘法与求和：将每个a_{ij}乘以C_{ij}，再将所有结果相加。
5. 得出行列式的值：最终结果即为原n阶行列式的值。
四、示例（3阶行列式）
考虑如下3阶矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}
$$
计算各代数余子式：
- $ C_{11} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $
- $ C_{12} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = -(36 - 42) = 6 $
- $ C_{13} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $
因此，
$$
\det(A) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0
$$
五、小结
按行展开是计算行列式的一种基本且有效的方法，尤其适用于高阶行列式的计算。它不仅有助于理解行列式的结构，还能在实际应用中提高计算效率。掌握这一方法，是进一步学习线性代数的基础。
