【绝对值三角不等式等号成立条件】在数学中，绝对值三角不等式是一个重要的不等式，广泛应用于代数、分析和几何等领域。其基本形式为：
$$
| a + b | \leq | a | + | b |
| a + b | = | a | + | b |
| 情况 | 数值示例 | 等号是否成立 | 说明 | ||||||
| $ a = 3, b = 2 $ | $ | 3 + 2 | = 5 $, $ | 3 | + | 2 | = 5 $ | 成立 | 同为正数 |
| $ a = -1, b = -4 $ | $ | -1 + (-4) | = 5 $, $ | −1 | + | −4 | = 5 $ | 成立 | 同为负数 |
| $ a = 0, b = 5 $ | $ | 0 + 5 | = 5 $, $ | 0 | + | 5 | = 5 $ | 成立 | 其中一个为零 |
| $ a = 2, b = -3 $ | $ | 2 + (-3) | = 1 $, $ | 2 | + | −3 | = 5 $ | 不成立 | 异号 |
| $ a = -2, b = 2 $ | $ | -2 + 2 | = 0 $, $ | −2 | + | 2 | = 4 $ | 不成立 | 异号 |
三、总结
绝对值三角不等式在大多数情况下是严格不等式，但在某些特殊条件下，等号可以成立。这些条件主要集中在两个数的符号一致性上，或其中至少一个为零。理解这些条件有助于在实际问题中更准确地应用这一不等式。
表格总结：
| 条件 | 是否成立 | 说明 |
| $ a $ 与 $ b $ 同号 | ✅ 成立 | 同为正或同为负 |
| $ a $ 或 $ b $ 为零 | ✅ 成立 | 至少一个为零 |
| $ a $ 与 $ b $ 异号 | ❌ 不成立 | 符号相反 |
通过以上分析，我们可以清晰地掌握绝对值三角不等式等号成立的具体条件，从而更好地理解和应用这一数学工具。
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