【3D最简单三个公式】在三维空间中，许多基础问题都可以通过简单的数学公式来解决。无论是计算机图形学、工程设计还是物理模拟，掌握一些核心的3D公式能够帮助我们快速理解并应用这些知识。本文将总结出三个在3D中最常用、最简单的公式，并以表格形式进行展示。
一、距离公式（Distance Formula）
在3D空间中，两点之间的直线距离可以通过以下公式计算：
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$
这个公式是二维距离公式的扩展，用于计算三维坐标系中任意两点之间的欧几里得距离。
二、向量点积（Dot Product）
两个向量 $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $ 和 $ \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) $ 的点积可以表示为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
$$
点积的结果是一个标量，常用于计算两向量之间的夹角或投影长度。
三、向量叉积（Cross Product）
两个向量 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 的叉积结果是一个与两者垂直的向量，其计算方式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}
= (a_y b_z - a_z b_y)\mathbf{i} - (a_x b_z - a_z b_x)\mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\mathbf{k}
$$
叉积常用于计算法向量、旋转方向等。
三、总结表格
| 公式名称 | 公式表达式 | 应用场景 |
| 距离公式 | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $ | 计算两点之间直线距离 |
| 向量点积 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $ | 计算向量夹角、投影、能量等 |
| 向量叉积 | $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) $ | 计算垂直向量、法向量、旋转方向 |
这三个公式虽然简单，但在3D建模、游戏开发、物理仿真等领域中具有非常广泛的应用。掌握它们有助于更高效地处理三维空间中的问题。
