在数学分析中，判断一个级数是收敛还是发散是一个基础但重要的问题。本文将探讨如何通过一系列步骤来判断给定级数的性质，并提供详细的解题过程。虽然您提到“如图”，但由于文本环境的限制，我们将仅通过文字描述来解析这一问题。

首先，我们需要明确级数的形式。假设我们面对的是一个无穷级数 \( \sum_{n=1}^\infty u_n \)，其中 \( u_n \) 是第 \( n \) 项。要判断其是否收敛，我们可以采用多种方法，包括但不限于比较判别法、比值判别法、根值判别法以及积分判别法等。

接下来，让我们逐步分析。第一步是检查级数的通项 \( u_n \) 是否趋于零。如果 \( \lim_{n \to \infty} u_n \neq 0 \)，那么根据必要条件，级数必定发散。这是判断级数发散的一个简单而有效的手段。

若 \( \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \)，则需要进一步深入分析。此时，我们可以尝试使用比值判别法，即计算极限 \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| \)。根据结果：

- 若 \( L < 1 \)，级数绝对收敛；

- 若 \( L > 1 \)，级数发散；

- 若 \( L = 1 \)，判别法失效，需尝试其他方法。

此外，还可以考虑积分判别法，适用于非负单调递减函数的情形。具体而言，若存在一个函数 \( f(x) \)，使得 \( f(n) = u_n \)，并且 \( f(x) \) 在区间 \([1, \infty)\) 上连续且非负递减，则级数 \( \sum_{n=1}^\infty u_n \) 的敛散性与积分 \( \int_1^\infty f(x) dx \) 的敛散性相同。

最后，对于某些特定形式的级数，例如几何级数或调和级数，可以直接套用已知结论。例如，几何级数 \( \sum_{n=0}^\infty ar^n \) 收敛当且仅当 \( |r| < 1 \)；而调和级数 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) 发散。

综上所述，判断级数的收敛性需要结合具体情况选择合适的方法。希望以上分析能够帮助您理解并解决类似的问题。如果您有具体的级数实例或图形辅助信息，欢迎提供更多细节以便更精确地解答。

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