【求根公式是什么?】在数学中，求根公式是用于求解一元二次方程的工具。它能够快速找到方程的两个解，而不需要通过复杂的因式分解或配方法。求根公式不仅适用于实数范围内的方程，也适用于复数范围内的方程，具有广泛的适用性。
一、什么是求根公式？
求根公式，又称二次方程求根公式，是用来求解形如：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
的方程的解的公式。其中 $ a \neq 0 $，否则方程将不再是二次方程。
该公式的标准形式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
这个公式能够直接给出方程的两个解，分别对应“+”和“-”号。
二、求根公式的推导过程（简要）
1. 从标准形式出发：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
2. 将方程两边除以 $ a $：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
$$
3. 移项：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$
4. 配方：
在左边加上 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $，右边也加上相同数值：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
5. 左边变为完全平方：
$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
6. 开方并整理：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
三、求根公式的应用与意义
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 二次方程求根公式 |
| 公式表达式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 适用条件 | 一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，且 $ a \neq 0 $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ |
| 判别式作用 | 判断根的性质： - $ D > 0 $：两个不相等实根 - $ D = 0 $：一个实根（重根） - $ D < 0 $：两个共轭复根 |
| 应用领域 | 数学、物理、工程、经济学等 |
四、举例说明
例1： 解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $
- $ a = 1, b = -5, c = 6 $
- 判别式 $ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 $
- 根为：
$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}
$$
所以 $ x_1 = 3, x_2 = 2 $
例2： 解方程 $ x^2 + 2x + 5 = 0 $
- $ a = 1, b = 2, c = 5 $
- 判别式 $ D = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 $
- 根为：
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i
$$
五、总结
求根公式是解决一元二次方程的重要工具，它不仅简化了计算过程，还能够帮助我们判断方程的根的性质。掌握这一公式对于学习代数和应用数学非常重要。无论是在考试中还是实际问题中，求根公式都是一种高效、准确的求解方法。
