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求根公式是什么?

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2025-07-08 03:55:31

求根公式是什么?】在数学中,求根公式是用于求解一元二次方程的工具。它能够快速找到方程的两个解,而不需要通过复杂的因式分解或配方法。求根公式不仅适用于实数范围内的方程,也适用于复数范围内的方程,具有广泛的适用性。

一、什么是求根公式?

求根公式,又称二次方程求根公式,是用来求解形如:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

的方程的解的公式。其中 $ a \neq 0 $,否则方程将不再是二次方程。

该公式的标准形式为:

$$

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

这个公式能够直接给出方程的两个解,分别对应“+”和“-”号。

二、求根公式的推导过程(简要)

1. 从标准形式出发:

$$

ax^2 + bx + c = 0

$$

2. 将方程两边除以 $ a $:

$$

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

$$

3. 移项:

$$

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

$$

4. 配方:

在左边加上 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $,右边也加上相同数值:

$$

x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2

$$

5. 左边变为完全平方:

$$

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

$$

6. 开方并整理:

$$

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

三、求根公式的应用与意义

项目 内容
公式名称 二次方程求根公式
公式表达式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
适用条件 一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $,且 $ a \neq 0 $
判别式 $ D = b^2 - 4ac $
判别式作用 判断根的性质:
- $ D > 0 $:两个不相等实根
- $ D = 0 $:一个实根(重根)
- $ D < 0 $:两个共轭复根
应用领域 数学、物理、工程、经济学等

四、举例说明

例1: 解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $

- $ a = 1, b = -5, c = 6 $

- 判别式 $ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 $

- 根为:

$$

x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

$$

所以 $ x_1 = 3, x_2 = 2 $

例2: 解方程 $ x^2 + 2x + 5 = 0 $

- $ a = 1, b = 2, c = 5 $

- 判别式 $ D = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 $

- 根为:

$$

x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i

$$

五、总结

求根公式是解决一元二次方程的重要工具,它不仅简化了计算过程,还能够帮助我们判断方程的根的性质。掌握这一公式对于学习代数和应用数学非常重要。无论是在考试中还是实际问题中,求根公式都是一种高效、准确的求解方法。

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