在数学中，计算特殊角度的三角函数值是一种常见的需求。今天我们将探讨一个具体的问题——tan75°等于多少？
首先，我们需要明确75°是一个特殊的角度，它可以通过已知的基本角（如30°、45°和60°）组合得到。具体来说，75°可以表示为45° + 30°。利用这个关系，我们可以借助三角恒等式来求解。
使用加法公式
三角函数中的加法公式告诉我们：
\[
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
\]
在这里，令 \(A = 45^\circ\) 和 \(B = 30^\circ\)。根据特殊角的三角函数值：
\[
\tan 45^\circ = 1, \quad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
将这些值代入公式：
\[
\tan(75^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
= \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}
\]
接下来进行化简：
\[
\tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}
= \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}
= \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
\]
为了进一步简化，我们对分子分母同时乘以\(3 + \sqrt{3}\)，即有理化分母：
\[
\tan(75^\circ) = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}
= \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3}
= \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6}
= 2 + \sqrt{3}
\]
因此，最终结果为：
\[
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
\]
总结
通过上述推导过程，我们得到了75°的正切值为\(2 + \sqrt{3}\)。这种方法不仅适用于75°，还可以推广到其他由基本角组合而成的角度。希望这篇文章能帮助大家更好地理解三角函数的计算技巧！
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