【等差数列和等比数列公式】在数学中，等差数列和等比数列是两个非常重要的数列类型，它们在数列、级数以及实际问题中有着广泛的应用。掌握它们的公式有助于快速计算各项数值及求和结果。
一、等差数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。
- 首项：$ a_1 $
- 公差：$ d $
- 第 $ n $ 项：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
- 前 $ n $ 项和：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $
二、等比数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。
- 首项：$ a_1 $
- 公比：$ r $
- 第 $ n $ 项：$ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $
- 前 $ n $ 项和：
- 当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $
- 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 首项 | $ a_1 $ | $ a_1 $ |
| 公差/公比 | $ d $ | $ r $ |
| 第 $ n $ 项 | $ a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） |
四、应用举例
- 等差数列：如工资逐年增加500元，构成等差数列。
- 等比数列：如投资年收益为10%，则金额按等比增长。
通过以上公式和对比，我们可以更清晰地理解等差数列与等比数列的本质区别及其应用方式。在学习过程中，建议结合实例进行练习，以加深对公式的理解和运用能力。
