【行列式的几个重要公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵理论、方程组求解、几何变换等领域。掌握行列式的几个重要公式，有助于更深入地理解其性质和应用。以下是对行列式相关公式的总结与归纳。
一、行列式的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，则其行列式记为 $
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中 $ \sigma $ 是 $ 1, 2, \ldots, n $ 的所有排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 表示排列的奇偶性（若为偶排列则为 +1，奇排列则为 -1）。
二、行列式的几个重要公式
以下是行列式中一些常用且重要的公式，适用于不同类型的矩阵或计算场景：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 1. 余子式展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $ 或 $ \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $ | 按行或列展开，$ C_{ij} $ 为元素 $ a_{ij} $ 的余子式 |
| 2. 三角形矩阵行列式 | $ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $ | 上三角或下三角矩阵的行列式为其对角线元素乘积 |
| 3. 行列式性质：交换两行（列） | $ \det(A') = -\det(A) $ | 交换两行（列）后行列式变号 |
| 4. 行列式性质：某一行（列）乘以常数 | $ \det(kA) = k^n \det(A) $ | 若将整个矩阵乘以常数 $ k $，行列式变为 $ k^n $ 倍 |
| 5. 行列式性质：某一行（列）加到另一行（列） | $ \det(A') = \det(A) $ | 行列式在行（列）相加时不变 |
| 6. 矩阵乘积的行列式 | $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $ | 两个矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积 |
| 7. 伴随矩阵与逆矩阵 | $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) $ | 当 $ \det(A) \neq 0 $ 时，矩阵可逆，其逆矩阵由伴随矩阵表示 |
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) $
| 9. 对角矩阵行列式 | $ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $ | 对角矩阵的行列式为其对角线元素乘积 |
| 10. 二阶行列式 | $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $ | 最基础的行列式计算公式 |
三、小结
行列式的计算虽然复杂，但通过上述基本公式和性质，可以大大简化运算过程。掌握这些公式不仅有助于提高计算效率，还能加深对矩阵结构和线性变换的理解。在实际应用中，灵活运用这些公式能够帮助我们快速判断矩阵是否可逆、求解线性方程组、分析几何图形等。
建议在学习过程中结合具体例题进行练习，以增强对行列式性质和公式的理解和应用能力。
