【三角函数变换公式有哪些】在数学学习中，三角函数是重要的基础内容之一，尤其在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。掌握常见的三角函数变换公式，有助于提高解题效率和理解问题本质。本文将对常见的三角函数变换公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本三角函数关系式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切、正割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切、余割的关系 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度 | 公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 补角公式 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 对称公式 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 对称公式 |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ | 周期性公式 |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ | 周期性公式 |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 正弦的二倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的二倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的二倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 正切的半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 正弦与余弦乘积转和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | 余弦与余弦乘积转和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | 正弦与正弦乘积转和差 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 正弦和转积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 正弦差转积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 余弦和转积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 余弦差转积 |
总结
三角函数变换公式种类繁多，但核心在于掌握基本恒等式、诱导公式、和差角、倍角、半角等常用公式。通过灵活运用这些公式，可以简化复杂的三角表达式，提高解题效率。建议在学习过程中结合图形理解和实际应用，加深对公式的掌握程度。
