在初中或高中数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。今天我们将探讨一个具体的例子：已知关于x的一元二次方程 ax² + x - a = 0（a ≠ 0）。这个方程虽然形式简单，但其中蕴含的数学原理和解题思路却值得深入分析。
首先，我们明确一下这个方程的基本结构。它是一元二次方程的标准形式之一，即：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
在这里，系数分别为：
- $ a $：二次项的系数；
- $ b = 1 $：一次项的系数；
- $ c = -a $：常数项。
由于题目中特别指出 $ a \neq 0 $，这确保了该方程确实为一元二次方程，而不是一次方程。
接下来，我们可以使用求根公式来解这个方程。对于一般的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
将本题中的系数代入，得到：
$$
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4a(-a)}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4a^2}}{2a}
$$
可以看出，判别式 $ D = 1 + 4a^2 $ 始终大于零，因为 $ a \neq 0 $，所以 $ 4a^2 > 0 $，因此无论 $ a $ 取何非零实数值，该方程都有两个不相等的实数根。
此外，我们还可以从方程的结构出发，尝试通过因式分解或其他方法寻找解。例如，观察原方程：
$$
ax^2 + x - a = 0
$$
是否可以将其拆分为两个一次式的乘积？尝试如下：
假设：
$$
(ax + m)(x + n) = 0
$$
展开后得：
$$
ax^2 + (am + n)x + mn = 0
$$
与原方程对比，有：
- 一次项系数：$ am + n = 1 $
- 常数项：$ mn = -a $
这是一个关于 $ m $ 和 $ n $ 的方程组，可以通过试值法或代数方法求解。不过，由于该方程的判别式恒正，直接使用求根公式更为高效。
总结一下，对于方程 $ ax^2 + x - a = 0 $，我们得出以下结论：
1. 它是一元二次方程，且有两个不同的实数根；
2. 根的表达式为 $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4a^2}}{2a} $；
3. 不论 $ a $ 是正还是负，只要 $ a \neq 0 $，方程都成立且有解。
这种类型的题目不仅考察学生对一元二次方程的理解，还锻炼了他们运用公式、分析结构和解决实际问题的能力。在今后的学习中，这类问题将继续出现，并可能与其他知识结合，形成更复杂的数学模型。
