在数学学习中，一元二次方程是一个非常基础但重要的内容。它不仅广泛应用于代数问题的求解，也在几何、物理等多个领域有着重要应用。今天我们将探讨这样一个一元二次方程：
$$
x^2 - (2k + 1)x + 4\left(k - \frac{1}{2}\right) = 0
$$
这个方程的形式是标准的一元二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
其中，$ a = 1 $，$ b = -(2k + 1) $，$ c = 4\left(k - \frac{1}{2}\right) $。
一、判别式的分析
对于任意一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根的情况由判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 决定。
将本题中的系数代入，得到：
$$
D = [-(2k + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4\left(k - \frac{1}{2}\right)
$$
化简得：
$$
D = (2k + 1)^2 - 16\left(k - \frac{1}{2}\right)
$$
展开计算：
$$
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
$$
$$
16\left(k - \frac{1}{2}\right) = 16k - 8
$$
因此，
$$
D = 4k^2 + 4k + 1 - (16k - 8) = 4k^2 + 4k + 1 - 16k + 8 = 4k^2 - 12k + 9
$$
进一步观察，可以发现：
$$
D = 4k^2 - 12k + 9 = (2k - 3)^2
$$
这说明该方程的判别式是一个完全平方数，因此无论 $ k $ 取何值，该方程都有实数根，并且当 $ D > 0 $ 时有两个不同的实数根；当 $ D = 0 $ 时有一个重根。
二、根的表达式
根据求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
$$
代入 $ b = -(2k + 1) $，$ D = (2k - 3)^2 $，$ a = 1 $，得：
$$
x = \frac{2k + 1 \pm (2k - 3)}{2}
$$
分别计算两种情况：
- 当取加号时：
$$
x = \frac{2k + 1 + 2k - 3}{2} = \frac{4k - 2}{2} = 2k - 1
$$
- 当取减号时：
$$
x = \frac{2k + 1 - (2k - 3)}{2} = \frac{2k + 1 - 2k + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2
$$
因此，该方程的两个根为：
$$
x_1 = 2k - 1, \quad x_2 = 2
$$
三、结论与拓展
通过以上分析可以看出，给定的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 1)x + 4\left(k - \frac{1}{2}\right) = 0 $ 的解与参数 $ k $ 密切相关。其根分别为 $ 2k - 1 $ 和 $ 2 $，且不论 $ k $ 取何值，方程始终有实数解。
此外，若题目进一步要求“两根相等”或“两根满足某种关系”，我们也可以据此进行深入讨论和推导。
四、总结
本文围绕一个具体的一元二次方程进行了系统分析，包括判别式的计算、根的求解以及结果的解释。通过这一过程，我们不仅掌握了该方程的解法，也加深了对一元二次方程性质的理解。这类问题在考试中常见，掌握其解题思路有助于提高数学思维能力与应试技巧。
