核心结论 tan 的平方也就是 tan²x，它的一阶导数等于 2tanx 乘以 sec²x，这个求导属于典型复合函数求导，需要使用链式法则，外层是 u 的平方，内层 u 等于 tanx，先对外层求导，再乘以内层 tanx 本身的导数 sec²x，很多同学做题容易漏掉链式法则，直接只写 2tanx，忘记乘 sec²x，这是这道题型最高频错误，这个公式在高等数学求导 不定积分 三角恒等变换综合题里面经常出现，定义域要求 cosx 不等于 0，也就是 x 不等于二分之 π 加 kπ，k 为整数，在这个区间之外 tan²x 本身没有定义，对应的导数也不存在，同时还可以利用三角恒等式对结果做等价变形，方便后续解题。

基础信息表格

推导原理

设 u 等于 tanx，那么原函数 tan²x 就变成 u²，这是复合函数结构。

外层函数 u² 对 u 求导，导数是 2u。

内层函数 u 等于 tanx，我们已经知道 tanx 的导数是 sec²x。

按照链式法则，整体导数等于外层导数乘内层导数，也就是 2u 乘以 sec²x，再把 u 换回 tanx，最终得到 tan²x 的导数等于 2tanx sec²x。

又因为恒等式 sec²x 等于 1 加 tan²x，所以导数也可以写成 2tanx 乘以括号 1 加 tan²x，两种形式是等价的，做题的时候可以根据题目需要选择书写形式。

配套相关求导对照清单

易错点说明

第一，漏掉链式法则，只对外层平方求导得到 2tanx，没有乘内层 tanx 的导数 sec²x，结果错误。

第二，符号记错，tan²x 导数整体是正号，不要和 cot²x 导数的负号混淆。

第三，复合升级题型，比如 tan²(3x)，除了链式两层之外，还要再乘内层 3x 的导数 3，最终导数是 6tan (3x) sec²(3x)，很多同学第三层导数遗漏。

第四，sec²x 不要漏平方，写成 secx，和之前 tanx 求导的常见错误一致。

学习使用步骤

第一步，牢记 tan 的平方求导公式结果是 2tanx sec²x。

第二步，理解复合函数拆分思路，外层 u 平方，内层 u 等于 tanx，掌握链式法则推导过程。

第三步，记住等价变形 2tanx (1 加 tan²x)，部分积分题会优先使用这个形式。

第四步，练习多层复合题型，比如 tan²(kx)，学会叠加内层函数导数。

第五步，配套记忆 tan 三次方 cot 平方的求导，巩固同类幂次复合求导。

总结 tan 的平方求导核心就是复合函数链式法则，原函数 tan²x 求导结果为 2tanx sec²x，重点不能漏掉内层 tanx 的导数 sec²x，多层复合还要继续乘以内层自变量的导数，是高数求导章节高频基础考点。

【常见问题】

问题 1 tan 的平方求导公式能不能写成 2tanx (1 加 tan²x)

回答 1 tan 的平方求导公式结果是 2tanx sec²x，利用恒等式 sec²x 等于 1 加 tan²x，tan 的平方求导公式可以等价写成 2tanx (1 加 tan²x)。

问题 2 tan 的平方求导公式推导用的是什么法则

回答 1 tan 的平方求导公式推导使用复合函数链式求导法则，拆分外层 u 平方和内层 u 等于 tanx，外层导数乘内层导数得到 tan 的平方求导结果。

问题 3 tan 的平方求导公式里面 tan²(2x) 导数是多少

回答 1 tan 的平方求导公式基础是 2tanx sec²x，tan²(2x) 属于多层复合，tan 的平方求导公式拓展之后导数等于 4tan (2x) sec²(2x)。

问题 4 tan 的平方求导公式和 cot 平方求导符号一样吗

回答 1 tan 的平方求导公式结果符号为正，cot 平方求导符号为负，tan 的平方求导公式和 cot 平方求导符号不相同，不要记混。

【免责申明】

本文为高等数学复合函数求导知识科普，公式仅在 tan²x 有定义区间内成立，若题目指定特殊定义域或者高阶求导，tan 的平方求导公式答题请严格按照教材与考试大纲标准书写。